Một bài toán thú vị về xác suất

Đây là trò chơi với đồng tiền, một trò chơi rất đơn giản giữa 2 người, chỉ dùng một đồng tiền có 2 mặt: mặt Hình và mặt Chữ. Nhưng đó không phải là mục đích chánh của bài viết nầy. Bài viết nầy chỉ mượn trò chơi nầy để bàn đến một bài toán thú vị về xác suất.

Trò chơi đồng tiền như sau:

Hai người, gọi là A và B cho tiện, thay phiên thảy một đồng tiền lên cao, khi đồng tiền rớt xuống, nếu mặt Hình thì A được 1 điểm, còn mặt Chữ thì B được 1 điểm.
Người nào có số điểm cách số điểm của người kia 3 điểm thì người đó thắng. Sau tối đa 10 lần thảy đồng tiền, nếu không có ai thắng thì huề.

Đồng tiền sử dụng rất đều đặn có nghĩa là xác suất để 2 mặt xuất hiện bằng nhau.

Hỏi vậy, xác suất để A thắng trò chơi đồng tiền bằng bao nhiêu?

Trước khi mời độc giả giải bài toán nầy, tác giả xin nhắc lại vài tính chất đơn giản của xác suất như sau:

a) Xác suất để có mặt Hình hay mặt Chữ sau khi đồng tiền rớt xuống bằng nhau và bằng 1/2
b) Xác suất để có 2 mặt Hình sau 2 lần thảy đồng tiền liên tiếp bằng 1/2 x 1/2 = (1/2)² = 1/4
c) Khi thảy 1 hạt xúc xắc có 6 mặt với 6 số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì xác suất để có 1 mặt nào đó bằng 1/6. Xác suất để có mặt 4 nút xuất hiện sau 2 lần thảy liên tiếp bằng (1/6)² = 1/36.
Xác suất để hoặc mặt 1 nút, hoặc mặt 2 nút, hoặc mặt 3 nút xuất hiện sau 1 lần thảy bằng 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

Bây giờ, xin bạn bỏ chút thời giờ suy nghĩ để tính xem xác suất để A thắng được trò chơi đồng tiền là bao nhiêu?

Độc giả rất dễ dàng nghĩ đến một lời giải đơn giản như sau:

Sau 10 lần thảy đồng tiền, có tất cả 11 kết quả khả hửu là:

10- 0,  9-1,  8-2,  7-3,  6-4,  5-5,  4-6,  3-7,  2-8,  1-9,  0-10

Số đầu và số sau lần lượt là số đồng tiền có mặt Hình và mặt Chữ. Theo đó thì trong 11 kết quả khả hửu, 4 kết quả đầu là A thắng.

Vậy xác suất để A thắng trò chơi đồng tiền là 4/11!

Có phải thế không? Thưa, không phải! Vì, đâu cần phải 10-0 thì A mới thắng, chỉ cần 3-0 là đủ, đâu cần đến 9-1, chỉ cần 4-1 là đủ, đâu cần đến 8-2, chỉ cần 5-2 là đủ, đâu cần đến 7-3, chỉ cần 6-3 là đủ!

Tóm lại, các kết quả để A thắng trò chơi đồng tiền là: 3-0, 4-1, 5-2 và 6-3.
Bây giờ, ta phải tìm xem có bao nhiêu trường hợp có thể dẩn đến những kết quả trên.

a) Kết quả 3-0: có 1 trường hợp HHH, mặt Hình 3 lần sau ba lần thảy đồng tiền

b) Kết quả 4-1: có 3 trường hợp CHHHH, HCHHH và HHCHH

Trường hợp CHHHH: Xác suất để có mặt Chữ trong lần thảy thứ nhất: 1/2
Xác suất để có 4 mặt Hình sau 4 lần thảy kế tiếp: (1/2)⁴
=> Xác suất của trường hợp CHHHH = (1/2) x (1/2)⁴ = (1/2)⁵ = 1/32

Trường hợp HCHHH: Xác suất để có mặt Hình trong lần thảy thứ nhất: 1/2
Xác suất để có mặt Chữ trong lần thảy thứ hai: 1/2
Xác suất để có 3 mặt Hình trong 3 lần thảy kế tiếp: (1/2)³
= > Xác suất của trường hợp HCHHH = (1/2) x (1/2) x (1/2)³ = (1/2)⁵ = 1/32

Trường hợp HHCHH: Xác suất để có 2 mặt Hình trong 2 lần thảy đầu: (1/2)²
Xác suất để có mặt Chữ trong lần thảy thứ ba: 1/2
Xác suất để có mặt Hình trong 2 lần thảy kế tiếp: (1/2)²
= > Xác suất của trường hợp HHCHH = (1/2)² x (1/2) x (1/2)² = (1/2)⁵ = 1/32

Chú ý:   Không có 2 trường hợp HHHCH, HHHHC vì các trường hợp nầy đã có trong kết quả 3-0

Tóm lại, có 3 trường hợp dẩn đến kết quả 4-1
=> Xác suất của kết quả 3-1 là 1/32+ 1/32 + 1/32 = 3/32

c) Kết quả 5-2: Tương tự như trên, ta có thể tìm đuợc là có 9 trường hợp dẩn tới kết quả nầy như sau:

CCHHHHH   CHCHHHH   CHHCHHH   CHHHCHH
HCCHHHH   HCHCHHH   HCHHCHH   HHCCHHH     HHCHCHH

Mỗi trường hợp nầy có xác suất bằng (1/2)⁷ = 1/128
=> Xác suất của kết quả 5-2 là 9 x (1/128) = 9/128

c) Kết quả 6-3: Tương tự như trên, có tất cả 27 trường hợp dẩn tới kết quả nầy.

Nếu có thì giờ, độc giả có thể liệt kê tất cả các trường hợp đó, nhưng phải nhớ loại ra các trường hợp đã có trong các kết quả trước.

Thí dụ, các trường hợp sau đây phải loại ra:

HHHCCCHHH (kết quả 3-0),  HHCHHCHCH (kết quả 4-1),
CHHHCHHCH (kết quả 5-2),  vv ….

Nhưng nếu độc giả không có thì giờ, thì nhận xét sau đây có thể là hửu ích:

Kết quả 3-0 => 0 mặt Chữ => 1 = 3⁰ trường hợp
Kết quả 4-1 => 1 mặt Chữ => 3 = 3¹ trường hợp
Kết quả 5-2 => 2 mặt Chữ => 9 = 3² trường hợp

=> Số trường hợp của một kết quả bằng một luỹ thừa của 3 với bậc luỹ thừa bằng số mặt Chữ trong kết quả.

=> Số trường hợp của kết quả 6-3 bằng 3³  = 27.

Mỗi trường hợp nầy có 6 mặt Hình và 3 mặt Chữ, nên có xác suất bằng (1/2)⁹ = 1/512

=> Xác suất của kết quả 6-3 là 27 x (1/512) = 27/512

Tóm lại, xác suất để A thắng trò chơi đồng tiền bằng tổng số xác suất của các kết quả 3-0, 4-1, 5-2 và 6-3, tức là:

= 1/8 + 3/32 + 9/128 + 27/512
= (64 + 48 + 36 + 27) / 512 = 175 / 512 = 0.3417 ≈ 34.17%

Nhận xét:  Xác suất để B thắng trò chơi đồng tiền cũng bằng 34.17%.
Xác suất để có người thắng (A hoặc B) trong trò chơi đồng tiền là:
34.17% + 34.17% = 68.34%
Vậy, còn 100% – 68.34% = 31.66% là gì? Đó là xác suất để trò chơi đồng tiền có kết quả hoà, tức là trường hợp các tỉ số 6-4, 5-5 và 4-6.

Bài toán đồng tiền suy rộng

Nếu đồng tiền là đồng tiền giả có 2 mặt không đều nhau, mặt Hình thường xuất hiện nhiều gấp đôi mặt Chữ sau khi được thảy lên, thì xác suất để A thắng trò chơi đồng tiền là bao nhiêu?

Nếu thảy đồng tiền 3 lần thì sau khi rớt xuống, mặt Hình sẽ xuất hiện 2 lần và mặt Chữ chỉ xuất hiện 1 lần. Nói khác đi, xác suất của mặt Hình là 2/3 và của mặt Chữ là 1/3.
Cũng như trên, có 4 kết quả để A thắng là:

Kết quả 3-0: Có 1 trường hợp HHH, xác suất bằng (2/3)³ = 8/3³ = 8/27

Kết quả 4-1: Có 3 trường hợp, mỗi trường hợp có 4 Hình và 1 Chữ, nên có xác suất bằng (2/3)⁴ x (1/3) = 16/3⁵

= > Xác suất của kết quả 4-1 = 3 x 16/3⁵ = 16/3⁴ = 16/81

Kết quả 5-2: Có 9 trường hợp, mỗi trường hợp có 5 Hình và 2 Chữ, nên có xác suất bằng (2/3)⁵ x (1/3)² = 32/3⁷

=> Xác suất của kết quả 5-2 = 9 x 32/3⁷ = 32/3⁵ = 32/243

Kết quả 6-3: Có 27 trường hợp, mỗi trường hợp có 6 Hình và 3 Chữ, nên có xác suất bằng (2/3)⁶ x (1/3)³ = 64/3⁹

=> Xác suất của kết quả 6-3 = 27 x 64/3⁹ = 64/3⁶ = 64/729

Xác suất để A thắng trò chơi đồng tiền suy rộng bằng:

= 8/27 + 16/81 + 32/243 + 64/729
= (8 x 27 + 16 x 9 + 32 x 3 + 64) / 729
= 520 / 729 = 0.7133 ≈ 71.33%

***********************************

ANTS là nhóm chuyên cung cấp dịch vụ nghiên cứu xã hội- thị trường cho các tổ chức và các nhân ở mọi quy mô. Các dịch vụ của chúng tôi bao gồm

• Tư vấn, thiết kế nghiên cứu
• Thiết kế bảng hỏi, thu thập số liệu
• Phân tích, báo cáo

Đối với dịch vụ XỬ LÝ SỐ LIỆU, chúng tôi cung cấp các gói dịch vụ liên quan

• Tư vấn, xây dựng mô hình, chạy các phần mềm thống kê thích hợp hoặc theo yêu cầu:SPSS, EVIEWS, STATA, R, AMOS,...
• Tổng hợp, báo cáo, đề xuất sau phân tích
• Tư vấn, hoàn thiện luận văn tốt nghiệp, cao học,... theo yêu cầu